相关系数r的取值范围

相关系数 \( r \)（也称为皮尔逊相关系数）是衡量两个变量之间线性关系强度和方向的统计量。它的取值范围限定在 \(-1 \leq r \leq 1\)。让我们深入这个重要指标的具体含义及其背后的数学原理。

当 \( r = 1 \) 时，我们称之为“完全正相关”。这意味着两个变量的数据点严格分布在一条斜率为正的直线上。换句话说，当一个变量增加时，另一个变量也按照固定的比例增加，二者呈现出完美的线性正相关关系。

相反，当 \( r = -1 \) 时，我们称之为“完全负相关”。这表示数据点分布在一条斜率为负的直线上。在这种情况下，一个变量的增加会导致另一个变量减少，二者呈现出完全的线性负相关关系。

若 \( r = 0 \)，则意味着两个变量之间不存在线性相关关系。但这并不意味着它们之间没有关联，只是这种关联可能是非线性的。

除了上述的极端情况外，还有许多介于-1和1之间的 \( r \) 值。当 \( 0 < |r| < 1 \) 时，我们可以进一步根据 \( |r| \) 的大小来判断线性相关性的强度：

若 \( |r| \geq 0.8 \)，我们称之为“强相关性”。

若 \( 0.5 \leq |r| < 0.8 \)，则为“中等相关性”。

若 \( |r| < 0.5 \)，则为“弱相关性”。

那么，这个相关系数 \( r \) 是如何计算的呢？它的数学定义是：协方差除以两个变量的标准差的乘积。简而言之，它量化的是两个变量共同变化的程度。根据柯西-施瓦茨不等式，我们知道协方差的绝对值不会超过两变量标准差的乘积，因此 \( |r| \) 的取值不会超过1。

值得注意的是，相关系数只能衡量变量之间的线性关系，无法反映非线性关联。当某变量的标准差为0时，\( r \) 是没有定义的。无论其值大小如何，即使 \( r = 0 \)，也不能断定两个变量之间没有关联，只是这种关联可能是通过非线性方式体现的。我们在分析数据时应该全面考虑各种因素。

相关系数 \( r \) 的取值介于-1和1之间，是用于量化两个变量间线性相关程度的重要工具。