原函数公式表

以下是常见函数的原函数公式表，让我们一起这些基本函数的原始形态：

一、基本函数原函数公式

1. 幂函数

对于幂函数∫x? dx，其原函数公式为x???/(n+1) + C，这里的C是常数项。请注意，当n不等于-1时，此公式适用。而当n等于-1时，公式变为∫1/x dx = ln|x| + C。

2. 指数函数

指数函数的原函数公式包括∫e? dx = e? + C和∫a? dx = a?/(ln a) + C。其中，a大于0且不等于1。

3. 三角函数

三角函数的原函数包括∫sinx dx = -cosx + C，∫cosx dx = sinx + C等。还有∫sec?x dx = tanx + C和∫csc?x dx = -cotx + C等。

4. 反三角函数

反三角函数的原函数公式包括∫1/√(1-x?) dx = arcsinx + C，∫-1/√(1-x?) dx = arccosx + C以及∫1/(1+x?) dx = arctanx + C等。

二、积分法则

1. 线性性

积分满足线性性，即∫[a·f(x) ± b·g(x)] dx = a∫f(x)dx ± b∫g(x)dx。其中，a和b为常数。

2. 分部积分法

分部积分法的公式为∫u·dv = u·v - ∫v·du。在选择适当的u和dv时，需要灵活运用此方法。

3. 换元积分法

通过换元简化积分，例如∫f(g(x))·g’(x)dx可以通过设u=g(x)简化为∫f(u)du。

三、特殊函数原函数

1. 对数函数

对数函数的原函数包括∫(1/x) dx = ln|x| + C和∫(1/(x·ln a)) dx = log?|x| + C。其中，a大于0且不等于1。

2. 双曲函数

双曲函数的原函数包括∫sinhx dx = coshx + C和∫coshx dx = sinhx + C。

四、注意事项

在得到原函数结果后，需要验证其正确性。对积分结果求导，若等于被积函数，则原函数正确。常数项C的存在表明原函数族包含无穷多个函数。以上公式需在定义域内成立。这些公式是数学中的基础工具，掌握它们对于理解和应用微积分至关重要。